lien de la base : https://www.kaggle.com/datasets/vanpatangan/divorce-prediction
Le mariage est souvent perçu comme l’union d’une union durable, symbolisant l’engagement et la stabilité dans la vie d’un couple. Pourtant, dans de nombreux contextes, les mariages connaissent des trajectoires variées : certains dure toute une vie, d’autre se terminent plus rapidement par un divorce. Ce phénomène est particulièrement intéressant à observer lorsque celui-ci repose sur un mariage arrangé, qui repose sur des dynamiques sociales et familiales différentes de celles d’un mariage romantique. Ces unions peuvent parfois révéler des différences profondes entre les partenaires ou faire émerger des schémas de relations complexes, voire toxiques.
Dans le cadre de cette étude, nous utilisons une base de données synthétique portant sur des mariages arrangés afin d’examiner la durée de ces unions et les facteurs susceptibles d’influencer leur stabilités. L’Analyse de Survie constitue ici un outil pertinent pour modéliser le temps écoulé entre le mariage et le divorce afin de mieux comprendre la distribution temporelle des ruptures.
Cette analyse est surtout pertinente d’un point de vue sociologique, permet de mieux comprendre les dynamiques relationnelles qui conduisent à la stabilité ou à la rupture d’un mariage. Étudier la durée d’un mariage et les facteurs associés au divorce éclaire notamment des notions essentielles comme la confiance, la communication, la gestion des conflits ou l’évolution des attentes au sein du couple. Comprendre ces mécanismes aide à mieux appréhender la manière dont les individus construisent ou parfois perdent un lien conjugal durable.
Elle présente également un intérêt social plus large : identifier les facteurs de fragilité permet de sensibiliser les couples, d’améliorer les dispositifs d’accompagnement et de renforcer la prévention. L’objectif n’est pas seulement d’anticiper une rupture, mais aussi de favoriser un environnement relationnel plus sain, où les partenaires disposent des ressources pour maintenir un mariage fondé sur la confiance, la solidarité et le respect mutuel.
La stabilité conjugale constitue un enjeu important sur les plans socia, démographique et psychologique. La durée d’un mariage influence notamment le bien-être des individus, le développement des enfants, mais aussi la structuration des familles et la cohésion sociale. À l’inverse, le divorce ou la séparation engendre des conséquences multiples : coûts émotionnels, réorganisation familiale, contraintes économiques ou fragilité psychologique.
Dans le cas des mariages arrangés, ces enjeux sont accentués par des dynamiques culturelles particulières, notamment le rôle de l’entourage, l’absence de choix conjugal initial ou la pression sociale. Étudier la durée de ces unions permet donc de mieux comprendre les mécanismes spécifiques qui favorisent la stabilité ou, au contraire, précipitent la rupture.
Quels facteurs influencent la durée d’un mariage arrangé et la probabilité de divorce ou de séparation au fil du temps ? Comment des caractéristiques individuelles, familiales ou relationnelles peuvent-elles modifier le risque de rupture ?
Quels facteurs influencent la durée de mariage ?
Notre base de données comporte 5000 observations pour 22 variables. Sur les 22 variables, nous retrouvons près de 10 variables quantitatives pour 12 qualitatives. De plus, notre base de données ne comporte aucune valeurs manquantes, ce qui réduit la complexité des prétraitements des données et permet de déterminer directement l’analyse exploratoire. Le tableau ci-dessous synthétise la présentation ainsi que les types et sous-type de variables.
| Nom_de_la_variable | Description | Type | Sous_type |
|---|---|---|---|
| age_at_marriage | Âge au mariage | Quantitative | Discrète |
| marriage_duration_years | Durée du mariage | Quantitative | Discrète |
| divorced | Divorce (oui/non) | Qualitative | Binaire |
| num_children | Nombre d’enfants | Quantitative | Discrète |
| education_level | Niveau d’éducation | Qualitative | Ordinale |
| employment_status | Statut professionnel | Qualitative | Nominale |
| combined_income | Revenu combiné | Quantitative | Continue |
| religious_compatibility | Compatibilité religieuse | Qualitative | Nominale |
| cultural_background_match | Correspondance culturelle | Qualitative | Binaire |
| communication_score | Score de communication | Quantitative | Continue |
| conflict_frequency | Fréquence des conflits | Quantitative | Discrète |
| conflict_resolution_style | Style de résolution de conflit | Qualitative | Nominale |
| mental_health_issues | Problèmes de santé mentale | Qualitative | Binaire |
| financial_stress_level | Niveau de stress financier | Quantitative | Continue |
| infidelity_occurred | Infidélité survenue | Qualitative | Binaire |
| counseling_attended | A suivi un counseling | Qualitative | Binaire |
| social_support | Soutien social | Quantitative | Continue |
| shared_hobbies_count | Nombre de hobbies partagés | Quantitative | Discrète |
| marriage_type | Type de mariage | Qualitative | Nominale |
| pre_marital_cohabitation | Cohabitation avant mariage | Qualitative | Binaire |
| domestic_violence_history | Historique de violence domestique | Qualitative | Binaire |
| trust_score | Score de confiance | Quantitative | Continue |
L’analyse de la variable marriage_duration_years montre
une distribution décroissante, avec la majorité des mariages ayant une
durée relativement courte. Les effectifs diminuent progressivement
lorsque la durée augmente. La durée minimale observée est de 1 ans, la
maximale de 40 ans, et la médiane est de 6 ans. On remarque également
quelques valeurs extrêmes entre 30 et 40 ans, qui sont isolées par
rapport à la majorité des observations. Ces outliers peuvent refléter
des cas particuliers de mariages très longs.
Notre base de données comporte une variable temporelle de durée de survie caractérisé par :
marriage_duration_years : Mesure la Durée du
mariage de l’individu.De plus, nous introduisons une variable \(a\) correspondant à la borne inférieure de
la variable de survie. Ici, pour marriage_duration_years,
on a \(a = 1\). Cette formalisation
permet d’unifier la notation et de clarifier les domaines de définition
dans les développements théoriques ultérieurs.
On pose \(X\) la variable aléatoire de survenue de l’évènement d’intérêt, donc le divorce. On note donc les différentes fonctions de survie et leurs interprétations par le tableau suivant :
| Fonction | Définition | Durée_du_mariage |
|---|---|---|
| \(S(t)\) | \(S(t) = \mathbb{P}(X \gt t) = e^{-H(t)} = e^{-\int_a^t h(u)\,du}\) | Probabilité que le mariage dure ≥ t |
| \(H(t)\) | \(H(t) = \int_a^t h(u)\,du = -\ln S(t)\) | Risque cumulé de divorce jusqu’à t |
| \(h(t)\) | \(h(t) = -\dfrac{S'(t)}{S(t)}\) | Risque instantané de divorce à t |
Nos données comportent une censure : certains individus n’ont pas
encore connu l’événement d’intérêt, c’est à dire qu’ils sont toujours
encore mariés. Cette information est déjà inscrite dans la base de
données via la variable divorced, qui
indique si l’individu est divorcé ou non que l’on note :
\[ \delta_i = \begin{cases} 1 & \text{si l'événement divorce est observé pour } i \\ 0 & \text{si l'observation n'est pas divorcé} \end{cases} \]
Soit \(X_i\) le temps de survie réel de l’individu \(i\) (durée jusqu’à l’événement d’intérêt, ici le divorce), et \(C_i\) la variable aléatoire du temps de censure, représentant le moment auquel l’individu quitte l’étude ou n’a pas encore subi l’événement.
La durée réellement observée pour chaque individu dépend du type de censure :
La censure à droite se produit lorsqu’un individu n’a pas
encore subi l’événement d’intérêt (ici le divorce) au moment de
sa dernière observation (\(X_i >
C_i\)).
Les principaux types de censure à droite sont :
La censure à gauche se produit lorsque l’événement a eu lieu
avant le début de l’observation, et on ne connaît que la borne
supérieure du temps de survie (\(X_i <
C_i\)).
Elle est beaucoup plus rare dans les études humaines et moins souvent
traitée dans la littérature.
Une censure par intervalle survient lorsqu’on sait seulement que l’événement s’est produit entre deux dates d’observation. Dans la pratique, elle est souvent convertie en censure à droite pour simplifier l’analyse.
Dans notre base de données, certains mariages n’ont pas
abouti à un divorce au moment de la fin de l’étude, et le temps
de suivi varie selon les individus.
On en déduit que les données présentent une censure à droite de
type III (aléatoire).
On suppose que cette censure est non informative,
c’est-à-dire indépendante de la probabilité de divorce, conformément aux
hypothèses classiques des modèles de survie.
Dans ce contexte, la durée réellement observée pour chaque mariage est donnée par :
\[ T = \min(X, C) \]
Estimateur empirique de la fonction de survie :
\[ \hat{S}(t) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \boldsymbol{1}_{\{t_i > t\}} \]
Cet estimateur correspond simplement à la proportion d’individus
encore mariés au temps \(t\).
Il suppose qu’il n’y a aucune donnée censurée,
c’est-à-dire que tous les individus ont eu l’événement observé.
| Méthode | Formule | Description |
|---|---|---|
| Estimateur empirique de survie (sans censure) | \(\hat{S}(t)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\mathbf{1}_{\{t_i\gt t\}}\) | Dans le cas sans censure, Kaplan–Meier coïncide avec l’estimateur empirique de la fonction de survie. |
| Variance (loi binomiale, cas sans censure) | \(\widehat{\text{Var}}[\hat{S}(t)] = \frac{\hat S(t) (1 - \hat S(t))}{n}\) | Variance estimée selon la loi binomiale, adaptée aux données entièrement observées. |
| Intervalle de confiance plain à 95 % | \(\text{IC}_{95\%}(t) = \hat S(t) \pm 1.96 \sqrt{\widehat{\text{Var}}[\hat S(t)]}\) | Intervalle de confiance classique basé sur la variance binomiale. |
L’estimateur de Kaplan-Meier découle de l’idée suivante : survivre après un temps \(t_n\) revient à être vivant juste avant \(t_n\) et ne pas subir l’événement à ce temps. Formellement, pour \(t_0 < t_1 < \dots < t_{n-1} < t_n\) :
La probabilité de survie jusqu’à \(t_n\) peut s’écrire en utilisant la règle de multiplication des probabilités :
\[ \mathbb{P}(X > t_n) = \mathbb{P}(X > t_1, X > t_2, \dots, X > t_n) \]
On introduit une récurrence : pour tout \(k \ge 1\),
\[ \mathbb{P}(X > t_k \mid X > t_{k-1}, \dots, X > t_1) = \mathbb{P}(X > t_k \mid X > t_{k-1}) \]
où l’égalité découle de l’indépendance conditionnelle induite par l’ordre croissant des temps.
Ainsi, par récurrence sur les indices \(k\) :
\[ \begin{aligned} \mathbb{P}(X > t_1, X > t_2, \dots, X > t_n) &= \mathbb{P}(X > t_1) \cdot \mathbb{P}(X > t_2 \mid X > t_1) \\ &\quad \cdot \mathbb{P}(X > t_3 \mid X > t_1, X > t_2) \cdots \mathbb{P}(X > t_n \mid X > t_1, \dots, X > t_{n-1}) \\ &= \mathbb{P}(X > t_1) \prod_{k=2}^{n} \mathbb{P}(X > t_k \mid X > t_{k-1}) \end{aligned} \]
On considère les temps d’événements distincts \(T_{(1)} < T_{(2)} < \dots <
T_{(j)}\) (décès ou divorce observés) rangés par ordre
croissant.
On définit \(T_{(0)} = 0\), la borne
inférieure du temps (par exemple \(a=1\) pour la durée de mariage).
Ainsi, la probabilité de survie jusqu’au temps \(T_{(j)}\) peut s’écrire comme un produit de probabilités conditionnelles :
\[ \begin{aligned} \mathbb{P}(X > T_{(j)}) &= \prod_{k=1}^{j} \mathbb{P}(X > T_{(k)} \mid X > T_{(k-1)}) \end{aligned} \]
Pour chaque temps d’événement \(T_{(k)}\), on s’intéresse à la probabilité conditionnelle de subir l’événement à ce temps, sachant que l’individu était encore à risque juste avant :
\[ \mathbb{P}(X \le T_{(k)} \mid X > T_{(k-1)}) \]
Cette quantité représente la probabilité qu’un individu qui a « survécu » jusqu’à \(T_{(k-1)}\) subisse l’événement à \(T_{(k)}\).
En pratique, on dispose des données observées :
On peut alors estimer cette probabilité conditionnelle par :
\[ \hat{\mathbb{P}}(X \le T_{(k)} \mid X > T_{(k-1)}) = \frac{d_k}{n_k} \]
La probabilité de survivre au temps \(T_{(k)}\) est le complémentaire :
\[ \hat{q}_k = \hat{\mathbb{P}}(X \ge T_{(k)} \mid X > T_{(k-1)}) = 1 - \hat{\mathbb{P}}(X \le T_{(k)} \mid X > T_{(k-1)}) = 1 - \frac{d_k}{n_k} \]
Enfin, en remplaçant les probabilités conditionnelles dans le produit de survie, on obtient l’estimateur de Kaplan-Meier (ou produit-limite) :
\[ \hat{S}(t) = \prod_{T_{(k)} \le t} \hat{q}_k = \prod_{T_{(k)} \le t} \left( 1 - \frac{d_k}{n_k} \right) \]
Ainsi, l’estimateur de Kaplan-Meier corrige naturellement le biais dû à la censure et fournit une estimation non paramétrique de la fonction de survie.
| Méthode | Formule | Description |
|---|---|---|
| Kaplan-Meier | \(\hat{S}(t) = \prod_{T_{(k)} \le t} \left( 1 - \dfrac{d_k}{n_k} \right)\) | Estimateur non paramétrique de la fonction de survie basé sur les événements observés et le nombre d’individus à risque. |
| Variance de Greenwood | \(\widehat{\text{Var}}\left[\hat{S}(t)\right] = \hat{S}(t)^2 \sum_{T_{(k)} \le t} \dfrac{d_k}{n_k (n_k - d_k)}\) | Variance estimée de Kaplan-Meier selon la formule de Greenwood. |
| Intervalle de confiance log à 95 % | \(\text{IC}_{95\%}(t) = \hat S(t) \pm 1.96 \sqrt{\widehat{\text{Var}}[\hat S(t)]}\) | Intervalle de confiance construit via une transformation logarithmique de S(t), qui est la méthode ‘plain’ de survfit(). |
Pour la courbe sans censure, la probabilité de rester marié diminue progressivement avec l’augmentation de la durée du mariage. Par exemple, après 1 an de mariage, les couples ont environ 82 % de rester mariés, mais cette proportion tombe à 32 % après 10 ans et approche de zéro après 36 à 40 ans. Les intervalles de confiance sont étroits au début car beaucoup de couples sont encore à risque. Comme les individus censurés ne sont pas pris en compte, cette estimation sous‑estime la survie réelle.
Pour la courbe avec censure, la probabilité de rester marié est plus élevée car les couples censurés (par exemple ceux pour lesquels on ne connaît pas la fin du mariage) ne sont pas considérés comme ayant divorcé. Après 1 an de mariage, les couples ont une chance de 93 % de rester mariés. Cette proportion descend à 64 % après 10 ans et à environ 10 % après 40 ans. Les intervalles de confiance s’élargissent légèrement avec la durée du mariage car moins de couples restent à risque. Cette estimation correspond à l’estimateur de Kaplan‑Meier et reflète mieux la survie réelle des mariages dans la population étudiée.
En résumé, sans censure, la courbe montre la survie brute et sous-estime la durée réelle des mariages, tandis que la courbe avec censure ajuste pour les mariages dont la fin n’a pas été observée, donnant une estimation plus fiable de la probabilité de rester marié dans le temps.
Dans cette section, nous évaluons la fonction de survie en fonction de différentes variables explicatives afin de déterminer si certains groupes ont une influence sur la courbe de survie de Kaplan–Meier.
Nous réaliserons des tests d’hypothèses pour vérifier si les courbes de survie diffèrent significativement entre les groupes.
En particulier, nous utiliserons des tests tels que le Log-Rank ou le test de Petro & Prentice, selon le type de covariable étudiée.
On considère \(k\) groupes de survie :
\[ S_1(t),\dots,S_k(t) \]
Hypothèses globales :
\[ \begin{cases} H_0 : S_1(t)=\dots=S_k(t), & \forall t \\ H_1 : \exists r,s,t \text{ tels que } S_r(t)\neq S_s(t) \end{cases} \]
Soient les temps distincts de décès :
\[ T_1 < \dots < T_N \]
Pour chaque temps \(T_i\) et chaque groupe \(g=1,\dots,k\) :
Sommes sur les groupes :
\[ d_i = \sum_{g=1}^k d_{gi}, \quad n_i = \sum_{g=1}^k n_{gi} \]
Variables aléatoires associées :
\[ D_{gi} \text{ dont la valeur observée est } d_{gi} \]
On empile les \(k\) nombres de décès observés au temps \(i\) :
\[ \mathbf{D}_i = \begin{pmatrix} D_{1i}\\ \vdots\\ D_{ki} \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^k \]
Sous \(H_0\), l’espérance conditionnelle :
\[ \mathbb{E}(\mathbf{D}_i) = \frac{d_i}{n_i} \begin{pmatrix} n_{1i} \\ \vdots \\ n_{ki} \end{pmatrix}, \quad \mathbb{E}(D_{gi}) = \frac{n_{gi} d_i}{n_i} \]
\[ \mathbf{V}_i = \mathbb{V}(\mathbf{D}_i) = \frac{n_i - d_i}{n_i - 1} \cdot \frac{d_i}{n_i^2} \Big( \begin{pmatrix} n_{1i} & n_{2i} & \dots & n_{ki} \end{pmatrix} I_k - \frac{1}{n_i} \begin{pmatrix} n_{1i} & n_{2i} & \dots & n_{ki} \end{pmatrix}^\top \begin{pmatrix} n_{1i} & n_{2i} & \dots & n_{ki} \end{pmatrix} \Big) \]
Vecteur score log-rank généralisé :
\[ \mathbf{U} = \sum_{i=1}^N w_i (\mathbf{D}_i - \mathbb{E}(\mathbf{D}_i)) \in \mathbb{R}^k \]
Matrice de variance :
\[ \mathbf{V} = \sum_{i=1}^N w_i^2 \mathbf{V}_i \in \mathbb{R}^{k\times k} \]
Statistique de test :
\[ \chi^2 = \mathbf{U}^\top \mathbf{V}^{-1} \mathbf{U} \sim \chi^2_{k-1} \]
Ainsi selon le test, on a :
Dans notre cas de figure, au dessus, on pose deux groupes :
On évoque donc les hypotèses suivantes :
\[ \begin{cases} H_0 : S_1(t) = S_2(t), & \forall t \\ H_1 : S_1(t) \neq S_2(t), & \exists t \end{cases} \]
Soit i \(\in\) [1, 40], on a :
Vecteur de divorce :
\[ \mathbf{D}_i = \begin{pmatrix} D_{1i} \\ D_{2i} \end{pmatrix}, \quad \mathbb{E}(\mathbf{D}_i) = \frac{d_i}{n_i} \begin{pmatrix} n_{1i} \\ n_{2i} \end{pmatrix} \]
Variance du premier composant (groupe 1) :
\[ \mathbb{V}(D_{1i}) = \frac{(n_i - d_i)}{n_i - 1} \frac{d_i n_{1i} n_{2i}}{n_i^2} \]
Vecteur score réduit à une dimension :
\[ U = \sum_{i=1}^{40} w_i (D_{1i} - E(D_{1i})) \]
Variance :
\[ \text{Var}(U) = \sum_{i=1}^{40} w_i^2 \mathbb{V}(D_{1i}) \]
Statistique de test log-rank :
\[ \chi_0^2 = \frac{U^2}{\text{Var}(U)} \sim \chi_1^2 \]
On effectue le test selon le test de log-rank :
## Call:
## survdiff(formula = Surv(time, event) ~ group, rho = 0)
##
## N Observed Expected (O-E)^2/E (O-E)^2/V
## group=mental_health_issue 1019 443 388 7.70 10.1
## group=no_mental_health_issue 3981 1548 1603 1.86 10.1
##
## Chisq= 10.1 on 1 degrees of freedom, p= 0.002On effectue le test selon le test de Peto & Prentice :
## Call:
## survdiff(formula = Surv(time, event) ~ group, rho = 1)
##
## N Observed Expected (O-E)^2/E (O-E)^2/V
## group=mental_health_issue 1019 328 294 4.08 6.62
## group=no_mental_health_issue 3981 1143 1178 1.02 6.62
##
## Chisq= 6.6 on 1 degrees of freedom, p= 0.01Le test du Log-Rank (rho = 0) donne une statistique de Chi-2 égale à 10,1 avec 1 degré de liberté et une p-value de 0,002. Comme la p-value est inférieure au seuil de 0,05, l’hypothèse nulle \(H_0\) d’égalité des fonctions de survie entre les deux groupes peut être rejetée. On en conclut qu’il existe une différence significative entre la survie des individus avec et sans problème de santé mentale.
Le test de Petro & Prentice (rho = 1), qui pondère davantage les événements précoces, fournit une statistique de Chi-2 de 6,62 avec 1 degré de liberté et une p-value de 0,01. Cette p-value étant également inférieure à 0,05, le résultat confirme que la différence observée entre les groupes est significative, même en mettant un poids plus important sur les événements survenus tôt.
Dans notre cas de figure, au dessus, on pose deux groupes :
On évoque donc les hypotèses suivantes :
\[ \begin{cases} H_0 : S_1(t) = S_2(t) = S_3(t) = S_4(t) , & \forall t \\ H_1 : S_1(t) \neq S_2(t\neq S_3(t) \neq S_4(t), & \exists t \end{cases} \]
On obtient donc selon le test du log-rank :
## Call:
## survdiff(formula = Surv(time, event) ~ group, rho = 0)
##
## N Observed Expected (O-E)^2/E (O-E)^2/V
## group=Bachelor 2069 802 833.8 1.2139 2.271
## group=Hight School 1513 605 591.5 0.3087 0.471
## group=Master 963 402 396.4 0.0786 0.105
## group=PhD 224 102 89.3 1.8127 2.013
##
## Chisq= 3.6 on 3 degrees of freedom, p= 0.3On obtient donc selon le test de Peto & Pretice :
## Call:
## survdiff(formula = Surv(time, event) ~ group, rho = 1)
##
## N Observed Expected (O-E)^2/E (O-E)^2/V
## group=Bachelor 2069 593.6 616.2 0.82612 1.92530
## group=Hight School 1513 450.0 440.1 0.22186 0.42204
## group=Master 963 288.0 288.7 0.00172 0.00285
## group=PhD 224 78.3 64.9 2.75899 3.80173
##
## Chisq= 5 on 3 degrees of freedom, p= 0.2Le test du Log-Rank (rho = 0) donne une statistique de Chi-2 égale à 3,6 avec 3 degrés de liberté et une p-value de 0,3. Comme la p-value est supérieure au seuil de 0,05, l’hypothèse nulle H0 d’égalité des fonctions de survie entre les niveaux d’éducation ne peut pas être rejetée. On en conclut qu’il n’existe pas de différence significative de survie selon le niveau d’éducation.
Le test de Peto & Prentice (rho = 1), qui pondère davantage les événements précoces, fournit une statistique de Chi-2 de 5 avec 3 degrés de liberté et une p-value de 0,2. Cette p-value étant également supérieure à 0,05, le résultat confirme qu’aucune différence significative de survie n’est observée entre les niveaux d’éducation, même en mettant un poids plus important sur les événements survenus tôt.
L’estimateur de Nelson-Aalen permet d’estimer le risque cumulatif \(h(t)\) dans le cadre de données censurées.
On définit :
\(H(t) = \mathbb{P}(T > t) = \mathbb{P}(X > t, C > t) = \mathbb{P}(X > t)\mathbb{P}(C > t)= S(t) G(t)\) où \(G\) est la fonction de survie de la censure \(C\)
\(H_1(t) = \mathbb{P}(T > t, \delta = 1) = \mathbb{P}(X > t, C > X)\)
On peut écrire \(H_1(t)\) en fonction de la densité \(f(u)\) de \(X\) et de \(G(u)\) :
\[ \begin{aligned} H_1(t) &= \mathbb{P}(X > t,\, C > X) \\ &= \mathbb{E}\big[ \mathbf{1}_{\{X > t\}} \cdot \mathbf{1}_{\{C > X\}} \big] \\[6pt] &= \mathbb{E}\Big[ \mathbf{1}_{\{X > t\}} \, \mathbb{E}\big[\mathbf{1}_{\{C > X\}}\mid X\big] \Big] \\[6pt] &= \mathbb{E}\big[ \mathbf{1}_{\{X > t\}} \, \mathbb{P}(C > X \mid X) \big] \\[6pt] &= \mathbb{E}\big[ \mathbf{1}_{\{X > t\}} \, G(X^-) \big] \\[6pt] &= \displaystyle \int_{t}^{\infty} G(u^-) \, f(u)\,du \\[6pt] &= - \displaystyle \int_{t}^{\infty} G(u^-) \, dS(u) \end{aligned} \]
On obtient donc :
\[ dH_1(t) = G(t^{-})dS(t) \]
Et donc par le temps on obtient :
\[ \frac{dH_1(t)}{dt} = \frac{G(t^{-})dS(t)}{dt} \]
ce qui donne mathématiquement :
\[ H_1'(t) = G(t^{-})S'(t) \]
Ainsi on a :
\[ \begin{aligned} \hat{H}_{NA}(t) &= \displaystyle \int_{0}^{t} h(u) \, du \\[2mm] &= \displaystyle \int_{0}^{t} -\frac{S'(u)}{S(u)} \, du \\[2mm] &= \displaystyle \int_{0}^{t} -\frac{\frac{H_1(u)}{G(u^{-})}}{\frac{H(u)}{G(u)}} \, du \\[2mm] &= \displaystyle \int_{0}^{t} -\frac{H_1(u)}{H(u)}\frac{G(u)}{G(u^{-})} \, du \\[2mm] &= \displaystyle \int_{0}^{t} -\frac{H_1(u)}{H(u)} \, du \end{aligned} \]
Un estimateur naturel s’obtient en remplaçant les fonctions \(H\) et \(H_1\) par leurs équivalents empiriques (calculables car les variables \(T\) et \(\delta\) sont observées):
\[ \hat{H}(u) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \mathbf{1}_{\{T_i > u\}}, \quad \hat{H}_1(u) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \mathbf{1}_{\{T_i > u, \delta_i = 1\}} \]
L’estimateur de Nelson-Aalen est alors donné par :
\[ \hat{H}_{NA}(t) = \displaystyle \int_{0}^{t} - \frac{\displaystyle \sum_{i=1}^{n} \mathbf{1}_{\{T_i > u, \delta_i = 1\}}}{\displaystyle \sum_{i=1}^{n} \mathbf{1}_{\{T_i > u\}}} \, du \]
Comme \(T\) est à temps discret, l’intégrale devient une somme sur les temps d’événement distincts , et on définit alors pour chaque temps d’événement \(t_i\) :
\[ d_i = \sum_{j=1}^{n} \mathbf{1}_{\{T_j = t_i, \delta_j = 1\}}, \quad n_i = \sum_{j=1}^{n} \mathbf{1}_{\{T_j \ge t_i\}}. \]
Ce qui donne :
\[ \hat{H}_{NA}(t) = \sum_{t_i \le t} \frac{d_i}{n_i}. \]
Une autre façon de calculer la fonction de risque cumulée et de passer par l’estimateur de beslow.
Rappel : l’estimateur de Kaplan–Meier de la fonction de survie s’écrit, pour des temps d’événement distincts \(t_1<\dots<t_m\), \[ \hat{S}(t)=\prod_{t_i\le t}\left(1-\frac{d_i}{n_i}\right), \] où \(d_i\) est le nombre d’événements au temps \(t_i\) et \(n_i\) le nombre d’individus à risque juste avant \(t_i\).
En utilisant la relation \[ H(t)=-\log S(t), \] on obtient l’estimateur de Breslow du risque cumulé : \[ \hat{H}_{\text{Breslow}}(t) = -\log\big(\hat{S}(t)\big) = -\log\!\left(\prod_{t_i\le t}\left(1-\frac{d_i}{n_i}\right)\right) = -\sum_{t_i\le t} \log\!\left(1-\frac{d_i}{n_i}\right). \]
Pour des fractions \(d_i/n_i\) petites, on utilise l’approximation \(\log(1-x)\approx -x\) pour \(x\) proche de \(0\). Ainsi \[ \sum_{t_i\le t}\log\!\left(1-\frac{d_i}{n_i}\right) \approx \sum_{t_i\le t}\frac{d_i}{n_i}, \] Ce qui montre que l’estimateur de Breslow est proche (et asymptotiquement équivalent) à l’estimateur de Nelson–Aalen \(\hat{H}_{NA}(t)=\sum_{t_i\le t}\dfrac{d_i}{n_i}\) lorsque les sauts sont petits.
| Méthode | Formule | Variance | Description |
|---|---|---|---|
| Nelson-Aalen | \(\hat{H}_{NA}(t) = \sum_{t_k \le t} \dfrac{d_k}{n_k}\) | \(\text{Var}(\hat{H}_{NA}(t)) = \sum_{t_k \le t} \dfrac{d_k}{n_k^2}\) | Estimateur non paramétrique basé sur les événements observés et le nombre de sujets à risque. |
| Breslow | \(\hat{H}_{\text{Breslow}}(t) = - \sum_{t_k \le t} \log\left(1 - \dfrac{d_k}{n_k}\right)\) | \(\text{Var}(\hat{H}_{\text{Breslow}}(t)) = \sum_{t_k \le t} \dfrac{d_k}{n_k(n_k - d_k)}\) | Estimateur du risque cumulatif dérivé de \(H(t) = -\log(S(t))\) via l’estimateur de Kaplan-Meier. |
Les courbes de risque cumulatif sans censure montrent le cumul des divorces en considérant tous les couples comme observés jusqu’à la fin. Pour Nelson-Aalen, le risque cumulatif commence à environ 0,18 après un an, atteint 0,54 après cinq ans et dépasse 5 après quarante ans. Cette courbe reflète le risque brut et tend à surestimer le risque réel, car elle ne tient pas compte des couples censurés. Pour Breslow sans censure, le risque cumulatif est légèrement plus élevé à chaque instant et dépasse 4 après quarante ans, reflétant également une estimation brute du risque de divorce. La courbe ne se termine pas toujours de manière définie à la fin, ce qui est normal puisque le calcul implique le logarithme de la survie et log(0) n’est pas défini.
Les courbes avec censure corrigent le calcul en tenant compte des couples dont on ne connaît pas la fin du mariage. Pour Nelson-Aalen avec censure, le risque cumulatif augmente plus lentement, commençant à environ 0,068 après un an et atteignant environ 2,1 après quarante ans. Les intervalles de confiance s’élargissent progressivement avec le temps car moins de couples restent à risque. Pour Breslow avec censure, le risque cumulatif commence à environ 0,07 après un an et atteint 2,29 après quarante ans.
On voit notamment pour chacune des courbes une augmentation du risque
pour la période de 40 ans de durée de marriage. Cela peut s’expliquer de
par une plus grande fréquence à 40 ans de durée de marriage parmi les
années de 30 ans à 40 ans de durée de marriage selon la distribution de
la variable marriage_duration_years.
En résumé, les estimateurs sans censure surestiment le risque cumulatif de divorce, tandis que les estimateurs avec censure donnent une estimation plus réaliste. Nelson-Aalen et Breslow donnent des courbes similaires, Breslow étant légèrement plus lisse et pouvant présenter des valeurs non définies si la survie estimée devient nulle.
Au début du mariage, le risque instantané de divorce est relativement élevé, avec un pic la première année (0,068 avec censure et 0,178 sans censure). Cela traduit une période initiale plus critique où les couples doivent s’adapter à la vie à deux. Ensuite, le risque se stabilise mais on note des petites augmentations autour de 5 à 7 ans, correspondant possiblement aux premières tensions liées à la vie commune et à l’arrivée éventuelle des enfants.
Une autre période où le risque augmente légèrement se situe entre 25 et 32 ans de mariage, avec des valeurs autour de 0,057–0,058 avec censure et 0,133–0,156 sans censure, reflétant des divorces plus tardifs dus à potentiellement à l’accumulation de tensions sur le long terme.
Enfin, vers la fin de l’observation, la fonction de risque montre des valeurs très élevées, notamment à 40 ans (0,455 avec censure et 1 sans censure), mais il s’agit d’un artefact dû au faible nombre de couples restant à risque et aux calculs de la fonction, et non d’un risque réellement plus élevé dans la population. On observe donc des périodes à risque plus marqué au début, quelques fluctuations intermédiaires et un pic final artificiel.